ESTANDAR
Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
COMPONENTE
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
INDICADOR DE DESEMPEÑO
Aplico las propiedades del conjunto numérico de los números reales para el cálculo de límites.
METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA
- Unidad didáctica
Límites de funciones
- Propósito
Determinar límites de funciones aplicando propiedades de los límites.
- Desarrollo cognitivo instruccional
Cálculo de límites. Límites de funciones polinómicas y racionales.
Una función polinómica es una función del tipo:
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
B. Límite de una función polinómica en el infinito
El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ o -∞, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
Ejemplo:
Resolución:
Resolución:
8/3, es positivo.
Cálculo de límites de funciones racionales
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.
Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz
Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.
A.2.2. El límite del numerador no es cero.
Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la
Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ejemplo:
Solución:
Solución:
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 y
Q(x) = x2 + 3x -10.
Descomposición factorial de P(x):
Descomposición factorial de Q(x):
El límite del cociente P(x)/Q(x) es:
Solución:
Se simplifican numerador y denominador:
Solución:
Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.
Solución:
Se estudian los límites laterales:
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
Límite de una función racional en el infinito
Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x tiende a infinito son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.
El límite de una función racional cuando x tiende a infinito es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.
Si
El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es infinito, positivo o negativo, dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales o distintos
- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m),
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n<m), el límite es 0.
Ejemplo:
Solución:
En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es .
Resolución: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:
Solución: El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:
Solución: El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:
- Desarrollo Metodológico
Actividad 1:
Completa los espacios en blanco con el argumento que satisface el concepto de los límites.
1. f(x) = L, significa que f(x) está cerca de _____, cuando x está suficientemente cerca (pero es diferente) de _____.
2. Sea f(x) = (x2 - 9)/(x - 3) donde f(3) está indeterminada. Sin embargo (x2- 9)/(x - 3) , _____.
3. f(x) = L significa que f(x) está cerca de _____ cuando x se aproxima a “c” por la _____.
4. Si, f(x) = M y . f(x) = M entonces _____.
Actividad 2
