ESTANDAR
Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
COMPONENTE
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
INDICADOR DE DESEMPEÑO
Aplico las propiedades del conjunto numérico de los números reales para el cálculo de límites.
METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA
Limite de Funciones
Identificar cuando una función es continua
3. Desarrollo cognitivo instruccional:
Evaluación
Limite de una función en un punto
Continuidad y discontinuidad.
Intuitivamente, una función es continua cuando es una función que puede dibujarse de un solo trazo (se puede dibujar sin levantar ninguna vez el lápiz del papel).
Ejemplos de funciones continuas
Una función es discontinua cuando tiene algún tipo de “ruptura” en su trazo.
Las tres posibilidades de discontinuidad.
REFLEXIÓN: Importante
Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver, una función es continua en x = a si:
- Existe f(a).
- Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden.
- El valor del límite coincide con el de la imagen.
Esas tres propiedades se resumen en:
Ejemplo 1: Identifiquemos la continuidad de la función
Solución: Tanto para valores menores que dos, como para valores mayores que 2, la función está definida como una semirrecta, es decir un trozo de una línea recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único punto problemático es x = 2, donde tenemos que ver si los límites laterales a izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 2.
Luego, la función es continua en toda
Ejemplo 2: Verifiquemos la continuidad de la función
Solución: Tanto para valores menores que 0, como para valores mayores, la función está definida como un trozo de una línea recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único punto problemático es x = 0, donde tenemos que ver si los límites laterales a izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 0.
|−1 − (−3)| = 2
La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0.
Ejercicio 3: Verificar la continuidad de la función:
Solución: La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.
La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.
Ejemplo 4: Calcula el valor de a para que la función siguiente sea continua:
Solución: Para que sea continua en x=1, deben coincidir los límites laterales.
Sea a un número real, la recta vertical x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se verifica alguna de las siguientes propiedades:
Sea b un número real, la recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si se verifica alguno de los siguientes límites:
(b) Ahora tenemos otra función racional, tienes que estudiar los puntos en los que se anula el denominador: x2+1=0.
Como no se anula para ningún valor de x, no tiene asíntotas verticales.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso existe una asíntota horizontal.
Para hallar su ecuación tenemos que calcular el límite cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.
. Esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=1.
- Desarrollo Metodológico
Actividad: Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica. En caso de no existir escribe no
Evaluación
